【求三年平均增长率公式的推导过程】在经济、金融、企业经营等许多领域中，平均增长率是一个重要的指标，用于衡量某一指标在一段时间内的增长趋势。尤其是在分析三年的经济增长或利润变化时，计算三年的平均增长率能够更准确地反映整体的增长情况。本文将详细说明如何推导出“三年平均增长率”的公式，并通过表格形式进行总结。
一、基本概念
平均增长率（Average Growth Rate）是指在一个特定时间段内，某个指标（如收入、利润、人口等）每年的平均增长比例。与简单平均不同，平均增长率通常采用几何平均的方式计算，以体现复利效应。
二、三年平均增长率的定义
假设某项指标在第1年、第2年、第3年的数值分别为：
- 第1年：$ A_1 $
- 第2年：$ A_2 $
- 第3年：$ A_3 $
我们希望找到一个年均增长率 $ r $，使得：
$$
A_1 \times (1 + r)^3 = A_3
$$
也就是说，如果以年均增长率 $ r $ 增长，那么经过三年后，初始值 $ A_1 $ 应该等于第三年的值 $ A_3 $。
三、公式推导过程
从上面的等式出发：
$$
A_1 \times (1 + r)^3 = A_3
$$
两边同时除以 $ A_1 $ 得到：
$$
(1 + r)^3 = \frac{A_3}{A_1}
$$
对两边取立方根：
$$
1 + r = \left( \frac{A_3}{A_1} \right)^{\frac{1}{3}}
$$
最终得到：
$$
r = \left( \frac{A_3}{A_1} \right)^{\frac{1}{3}} - 1
$$
这就是三年平均增长率的计算公式。
四、公式应用示例
假设某公司三年的利润如下：
| 年份 | 利润（万元） |
| 第1年 | 100 |
| 第2年 | 120 |
| 第3年 | 144 |
根据公式：
$$
r = \left( \frac{144}{100} \right)^{\frac{1}{3}} - 1 = (1.44)^{\frac{1}{3}} - 1 \approx 0.1259 - 1 = 0.1259
$$
即年均增长率为 12.59%。
五、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设定初始值 $ A_1 $ 和末期值 $ A_3 $ |
| 2 | 建立等式：$ A_1 \times (1 + r)^3 = A_3 $ |
| 3 | 解方程得：$ r = \left( \frac{A_3}{A_1} \right)^{\frac{1}{3}} - 1 $ |
| 4 | 计算结果为三年平均增长率 |
| 5 | 示例：若 $ A_1 = 100 $，$ A_3 = 144 $，则 $ r \approx 12.59\% $ |
六、注意事项
- 该公式适用于连续增长的情况，不适用于间断性增长。
- 若数据为负增长或波动较大，需结合其他指标综合分析。
- 实际应用中，建议使用计算器或Excel函数（如 `GEOMEAN` 或 `POWER`）辅助计算。
通过以上推导和示例，我们可以清晰地理解三年平均增长率的计算逻辑与实际应用方法。这种计算方式不仅科学合理，也广泛应用于各类数据分析场景中。
