在逻辑学中，命题公式的标准形式对于分析其真值结构、简化表达以及进行逻辑推理具有重要意义。其中，主析取范式（Principle Disjunctive Normal Form, PDNF） 和 主合取范式（Principle Conjunctive Normal Form, PCNF） 是两种重要的标准形式。它们分别以“或”和“与”的方式将公式展开为若干最小项或最大项的组合。本文将详细讲解如何按照步骤求解一个命题公式的主析取范式与主合取范式。
一、基本概念
1. 析取范式与合取范式
- 析取范式（DNF）：由多个“合取式”通过“析取”连接而成。
- 合取范式（CNF）：由多个“析取式”通过“合取”连接而成。
2. 主析取范式（PDNF）
主析取范式是析取范式的特例，其中每个合取式都包含所有命题变元（或其否定），即最小项。每个最小项对应一种真值组合。
3. 主合取范式（PCNF）
主合取范式是合取范式的特例，其中每个析取式都包含所有命题变元（或其否定），即最大项。每个最大项也对应一种真值组合。
二、求主析取范式的步骤
步骤1：列出命题公式的所有变量
假设公式中有 $ n $ 个不同的命题变元（如 $ p, q, r $），则共有 $ 2^n $ 种可能的真值组合。
步骤2：构造真值表
根据公式，列出所有可能的真值组合，并计算每种情况下的公式值。
步骤3：找出使公式为真的真值组合
对每一个真值组合，若公式结果为真，则记录该组合所对应的最小项。
步骤4：写出主析取范式
将这些最小项用“∨”连接起来，即为该命题公式的主析取范式。
三、求主合取范式的步骤
步骤1：同样列出命题公式的所有变量
与主析取范式相同，确定变元数量 $ n $。
步骤2：构造真值表
同样列出所有真值组合，并计算公式值。
步骤3：找出使公式为假的真值组合
对每一个真值组合，若公式结果为假，则记录该组合所对应的最大项。
步骤4：写出主合取范式
将这些最大项用“∧”连接起来，即为该命题公式的主合取范式。
四、示例说明
设命题公式为：
$$
F = (p \rightarrow q) \land (\neg q \lor r)
$$
第一步：列出变量
变量为 $ p, q, r $，共3个。
第二步：构造真值表
| p | q | r | p→q | ¬q | ¬q∨r | F=(p→q) ∧ (¬q∨r) |
|---|---|---|-----|----|------|------------------|
| 0 | 0 | 0 |1|1 | 1|1 |
| 0 | 0 | 1 |1|1 | 1|1 |
| 0 | 1 | 0 |1|0 | 0|0 |
| 0 | 1 | 1 |1|0 | 1|1 |
| 1 | 0 | 0 |0|1 | 1|0 |
| 1 | 0 | 1 |0|1 | 1|0 |
| 1 | 1 | 0 |1|0 | 0|0 |
| 1 | 1 | 1 |1|0 | 1|1 |
第三步：找出真值为真的组合
真值为真的组合有：
- (0,0,0)
- (0,0,1)
- (0,1,1)
- (1,1,1)
第四步：写出主析取范式
对应的最小项为：
- (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r)
- (¬p ∧ ¬q ∧ r)
- (¬p ∧ q ∧ r)
- (p ∧ q ∧ r)
所以，主析取范式为：
$$
(\neg p \land \neg q \land \neg r) \lor (\neg p \land \neg q \land r) \lor (\neg p \land q \land r) \lor (p \land q \land r)
$$
第五步：找出假值组合并写出主合取范式
假值组合为：
- (0,1,0)
- (1,0,0)
- (1,0,1)
- (1,1,0)
对应的为最大项：
- (p ∨ ¬q ∨ r)
- (¬p ∨ q ∨ r)
- (¬p ∨ q ∨ ¬r)
- (¬p ∨ ¬q ∨ r)
因此，主合取范式为：
$$
(p \lor \neg q \lor r) \land (\neg p \lor q \lor r) \land (\neg p \lor q \lor \neg r) \land (\neg p \lor \neg q \lor r)
$$
五、总结
求命题公式的主析取范式与主合取范式，核心在于理解最小项与最大项的概念，并通过真值表来识别哪些组合满足条件。通过系统地分析真值表，可以准确地得到两种标准形式，从而更清晰地把握命题的逻辑结构。
掌握这一方法不仅有助于逻辑推理，也为后续的逻辑电路设计、自动定理证明等应用打下坚实基础。
